С помощью чего записываются числа

ПОВТОРЯЕМ ТЕОРИЮ

6. Заполните пропуски.

РЕШАЕМ ЗАДАЧИ

7. Запишите в таблицу число:

1) тридцать пять миллиардов триста сорок шесть миллионов шестьсот шестнадцать тысяч двести семьдесят семь.
2) семьсот тридцать три миллиарда двести пять миллионов пятьдесят шесть тысяч шестьдесят четыре.
3) двадцать миллиардов сорок тысяч девяносто.
4) двести три миллиарда пятьсот семьдесят девять тысяч сто.
5) восемь миллиардов пять миллионов двенадцать тысяч девятнадцать.
6) два миллиарда три тысячи один.

8. Запишите, как читается число.

1) 4 328 176 214
2) 3 020 004 400

1) 4 миллиарда 328 миллионов 176 тысяч 214
2) 3 миллиарда 020 миллионов 004 тысячи 400

9. Запишите число в виде суммы разрядных слагаемых.

1) 5 491 268 = 5*1 000 000+4*100 000+9*10 000+1*1000+2*100+6*10+8*1
2) 2 790 321 = 2*1 000 000+7*100 000+9*10 000+0*1000+3*100+2*10+1*1
3) 6 003 807 = 6*1 000 000+0*100 000+0*10 000+3*1000+8*100+0*10+7*1

10. Запишите число, составленное из тех же цифр, что и данное, но рассположенных в обратном порядке.

11. Припишите справа к данному числу число, составленное из тех же цифр, что и данное. Прочитайте полученное число и представьте его в виде суммы разрядных слагаемых.

12. Запишите все двузнычные числа, для записи которых используются только цифры 3, 6 и 8 (цифры могут повторяться).

33, 36, 63, 66, 68, 83, 86, 88, 38

13. Сколько существует двузначных чисел, у которых первая цифра больше второй?

1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 10*4+5 = 45

Ответ: 45 (сорок пять).

ааа, аам, ама, маа, амм, мам, мма, ммм

15. Вставьте пропущенные числа.

Источник

Математика. 5 класс

Конспект урока

Ряд натуральных чисел. Десятичная система записи натуральных чисел

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— десятичная запись натуральных чисел;

— разрядность натуральных чисел

Натуральные числа – числа, которые используют при подсчёте предметов.

Натуральный ряд – последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания.

Система счисления – это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Теоретический материал для самостоятельного изучения

С древних времен у человека была потребность в счёте.

Числа, которые используют при подсчёте предметов, называют натуральными числами.

Таким образом, числа: один, два, три, …, десять, …, сто, …, тысяча, …, миллион и так далее – это натуральные числа.

Натуральные числа один, два, три, четыре, пять и так далее, записанные в порядке возрастания и без пропусков, образуют ряд натуральных чисел.

Стоит отметить, что самое маленькое натуральное число – единица (1). В натуральном ряду каждое следующее число на 1 больше предыдущего. Натуральный ряд бесконечен, наибольшего числа в нём нет.

В настоящее время принята десятичная система записи чисел (десятичная система счисления), в которой числа записываются при помощи десяти знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – эти знаки называют цифрами.

Одна и та же цифра может иметь различное значение в зависимости от позиции, где она расположена в записи числа. Например, в записи числа пятьсот пятьдесят пять первая справа цифра пять означает пять единиц, вторая – пять десятков, третья – пять сотен.

Вот поэтому десятичную систему счисления называют позиционной.

Натуральные числа, записанные одной цифрой, называют однозначными, а записанные несколькими цифрами – многозначными: двумя – двузначными, тремя – трёхзначными и т. д.

Например, числа 1, 8, 9 – однозначные числа; 10, 66, 89 – двузначные числа; 111, 145 – трёхзначные числа; 123456 – шестизначное число.

Для чтения многозначных чисел их разбивают, начиная справа, на группы по три цифры в каждой (самая левая группа может состоять из одной или двух цифр). Эти группы называются классами.

Первый класс справа называют классом единиц, второй – классом тысяч, третий – классом миллионов, четвёртый – классом миллиардов и т. д.

Источник

Чтение и запись натуральных чисел

Пройти тест по теме «Натуральные числа и действия над ними» можно по ссылке. Проверьте свои знания!

Для передачи на письме любого числа в понятном для всех виде, мы используем особые знаки, получившие название цифры.

Цифры – это особые знаки, которые мы используем для записи чисел.

Кроме самих знаков, нам понадобится система правил, которая описывает способ наименования и обозначения чисел. Она получила название система счисления или система записи чисел.

Система счисления – это набор правил, который описывает наименование и обозначение чисел на письме при помощи особых знаков: цифр.

Существует много систем счисления, но здесь мы будем рассматривать только ту, которую пользуемся каждый день.

Слово позиционная указывает на то, что значение, роль любой цифры, зависит от места ее расположения в числе.

Слово десятеричная означает, что любое натуральное число записывается на письме при помощи десяти особых символов, то есть, цифр, и их комбинаций:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Запись натурального числа – это его изображение на письме при помощи цифр и системы их записи.

Количество цифр, с помощью которых записано натуральное число, влияет на его название.

Число с тремя, четырьмя, пятью и более цифрами, соответственно, называется трехзначным, четырехзначным, пятизначным и т.д.

Таблица 1. Наибольшие и наименьшие натуральные однозначные и многозначные числа.

Цифра и число – это не одно и то же! Цифра – это всего лишь знак, при помощи которого мы можем записывать числа. Цифр всего лишь десять, а чисел – бесконечное множество. Число может быть записано при помощи цифр (182), и также при помощи слов (сто восемьдесят два).

Рассмотрим запись натурального числа более подробно.

В статье «Названия чисел до тысячи и более» подробно рассказано об устной нумерации чисел, поэтому здесь мы просто воспользуемся этими знаниями.

Запись натуральных чисел в десятеричной системе счисления

Для записи единиц, то есть, однозначного числа, в десятеричной системе счисления используются девять цифр:

нуль при этом означает отсутствие единиц в данной позиции.

Двухзначное число на записи обозначается при помощи приставления слева от цифры, обозначающей количество единиц в числе, соответствующей цифры, выражающей количество десятков единиц в данном числе.

Например, пятьдесят три, то есть, пять десятков и три единицы записывается на письме так: 53, а восемьдесят, то есть, восемь десятков и нуль единиц – 80.

Подобным образом формируется запись любого многозначного натурального числа. К примеру, шестьсот сорок два (шесть сотен, четыре десятка и две единицы) записывается как 642, а двенадцать тысяч пятьсот четыре (двенадцать тысяч, пять сотен, нуль десятков и четыре единицы) – как 12504.

Как вы видите, каждое место, на котором находится цифра, имеет свое особое значение, а именно:

Таблица 2. Значения цифр в зависимости от места в числе.

Таким образом, при записи натурального числа соблюдается следующее правило:

Если в любом числе взять произвольно две расположенные рядом цифры, то левая будет обозначать единицы, которые в десять раз больше, чем те, которые обозначает правая цифра.

Чтение натуральных чисел

Чтобы прочитать натуральное число любой длины, необходимо разбить его справа налево на группы из трех цифр (то есть, на классы), и назвать слева направо количество единиц каждого класса, прибавляя к ним название класса. При этом, не произносят название класса, не имеющего ни одной единицы.

Например, число 18.328.509.000.612 должно быть прочитано так: 18 триллионов 328 миллиардов 509 миллионов 612.

Название класса единиц также обычно не произносят.

Источник

Обозначение натуральных чисел (разряды и классы в записи числа)

Урок 2. Математика 5 класс

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Обозначение натуральных чисел (разряды и классы в записи числа)»

На этом уроке мы узнаем, что называют разрядом числа, разрядными единицами, разрядными слагаемыми. Поговорим о классах числа. А также обсудим, как правильно читать числа.

Мы знаем, что натуральные числа – это числа, которые используют при счёте.

Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр:

Способ записи чисел, которым мы пользуемся, называется десятичной позиционной системой счисления.

Значение цифры зависит от её места (позиции) в записи числа.

Кроме натуральных чисел мы знаем ещё число 0 (нуль). При счёте число 0 (нуль) не используется, а означает оно «ни одного». Поэтому число 0 не является натуральным!

Если запись натурального числа состоит из одного знака — одной
цифры, то его называют однозначным.

Например, числа 1, 3, 7 — однозначные.
Если запись числа состоит из двух знаков — двух цифр (различных или одинаковых), то его называют двузначным.
Числа 23, 58, 66 — двузначные.

Точно так же можно сказать и о трёхзначных числах, четырёхзначных и т. д.
Числа 321, 555, 878 — трёхзначные.
Числа 2100, 5350, 9999 — четырёхзначные и т. д.

Многозначные натуральные числа – это натуральные числа, запись которых состоит из 2, или 3, или 4 и т. д. знаков.

Говоря на математическом языке, многозначные натуральные числа – это двузначные, трёхзначные, четырёхзначные и т. д. числа.

Позиция (место), на которой стоит цифра в записи натурального числа, называется разрядом.

Разряды называют начиная с конца числа, т. е. справа налево.

Рассмотрим для наглядности число 563.

Первая цифра справа в записи числа называется цифрой первого разряда. В данном числе это цифра 3. Вторая цифра, которая стоит следующей слева от первой цифры, называется цифрой второго разряда. В записанном числе это цифра 6. Третья цифра называется цифрой третьего разряда. Здесь это цифра 5.

Первый разряд называют также разрядом единиц, второй разряд – разрядом десятков, третий разряд – разрядом сотен и т. д.

Одна и та же цифра в записи числа может иметь разные значения в зависимости от того, в каком разряде она стоит. Если в числе отсутствует какой-либо разряд, то в записи числа на его месте будет стоять цифра 0 (нуль).

Здесь цифра 5 повторяется. Одна цифра 5 стоит в первом разряде. Это значит, что в числе 5 единиц. Вторая цифра 5 стоит в третьем разряде и обозначает, что в числе 5 сотен. Цифра 0 в числе 505 обозначает, что в числе отсутствует разряд десятков.

Рассмотрим число 8503.

Оно состоит из 8 тысяч, 5 сотен, 0 десятков и 3 единиц. Т. е. его можно записать следующим образом:

8503 = 8000 + 500 + 0 + 3

Числа 8000, 500, 0 и 3 называются разрядными слагаемыми числа 8503.

Числа 1, 10, 100 и т. д. называются разрядными единицами:

1 – единица первого разряда – разряда единиц,

10 – единица второго разряда – разряда десятков,

100 – единица третьего разряда – разряда сотен и т. д. С их помощью натуральное число записывается в виде разрядных слагаемых.

Каждые 10 единиц любого разряда образуют новую единицу более высокого разряда. Например, 10 единиц образуют 1 десяток. 10 десятков образуют 1 сотню.

Посмотрим это на рисунке:

Мы видим 1 шарик, обозначим его как 1 единицу. Если соединить 10 шариков, то они уже образуют 1 десяток.

10 десятков шариков, в свою очередь, уже составят 1 сотню.

Вернёмся к числу 8503. Мы уже записывали его суммой разрядных слагаемых, у нас было записано:

8503 = 8000 + 500 + 0 + 3

А теперь запишем числа 8000, 500, 0 и 3 с помощью разрядных единиц.

Получим: .

Первая цифра слева в записи натурального числа называется цифрой высшего разряда.

Так как запись натурального числа не может начинаться с 0 (нуля), то цифра высшего разряда всегда отлична от 0 (нуля).

В записи числа разряды, начиная справа, группируются в классы по три разряда в каждом.

Класс единиц, или первый класс, – это класс, который образуют первые три разряда (справа от конца числа): разряд единиц, разряд десятков и разряд сотен.

Рассмотрим числа 6, 34, 148.

Все цифры в записи данных чисел стоят в классе единиц.

Класс тысяч, или второй класс, – это класс, который образуют следующие три разряда: единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч.

Рассмотрим числа 5234, 12803, 356149.

Рассмотрим число 289 350 140.

Первая тройка цифр стоит в классе единиц, вторая тройка цифр – в классе тысяч, третья тройка цифр стоит в классе миллионов.

Чтобы прочитать многозначное число, мы должны разбить его на классы и затем назвать слева направо количество единиц каждого класса, добавляя название классов. Если в каком-либо из классов стоят 3 нуля, то единицы и название этого класса не произносят.

Например, прочитаем число 134 590 720.

Для этого поставим цифры числа в таблицу с соответствующим им разрядом и классом.

Цифра 0 относится к разряду единиц, 2 – к разряду десятков, 7 – к разряду сотен, цифра 0 относится к разряду единиц тысяч, 9 – к десяткам тысяч, 5 – к сотням тысяч. Дальше цифра 4, она относится к разряду единиц миллионов, 3 – к десяткам миллионов, и цифра 1 относится к разряду сотен миллионов.

Теперь прочитаем число: «Сто тридцать четыре миллиона пятьсот девяносто тысяч семьсот двадцать».

Аналогично попробуем прочитать число 418 000 547. Занесём цифры в табличку.

Цифра 7 – разряд единиц, 4 – разряд десятков, 5 – разряд сотен. Дальше следуют три нуля, они, соответственно, относятся к разрядам единиц, десятков, сотен класса тысяч.

Прочитаем число: «Четыреста восемнадцать миллионов пятьсот сорок семь». Затем идёт цифра 8, она относится к разряду единиц миллионов, 1 – к разряду десятков миллионов, и цифра 4 относится к разряду сотен миллионов. Читаем число «Четыреста восемнадцать миллионов пятьсот сорок семь». Класс тысяч не назвали, так как там стоят три нуля.

Итак, на уроке мы узнали такие понятия, как разряд числа, разрядные единицы, разрядные слагаемые, классы числа, а также научились правильно читать натуральные числа.

Источник

Основы систем счисления

Изучая кодировки, я понял, что недостаточно хорошо понимаю системы счислений. Тем не менее, часто использовал 2-, 8-, 10-, 16-ю системы, переводил одну в другую, но делалось все на “автомате”. Прочитав множество публикаций, я был удивлен отсутствием единой, написанной простым языком, статьи по столь базовому материалу. Именно поэтому решил написать свою, в которой постарался доступно и по порядку изложить основы систем счисления.

Введение

Система счисления — это способ записи (представления) чисел.

Что под этим подразумевается? Например, вы видите перед собой несколько деревьев. Ваша задача — их посчитать. Для этого можно — загибать пальцы, делать зарубки на камне (одно дерево — один палец\зарубка) или сопоставить 10 деревьям какой-нибудь предмет, например, камень, а единичному экземпляру — палочку и выкладывать их на землю по мере подсчета. В первом случае число представляется, как строка из загнутых пальцев или зарубок, во втором — композиция камней и палочек, где слева — камни, а справа — палочки

Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные, а позиционные, в свою очередь, — на однородные и смешанные.

Непозиционная — самая древняя, в ней каждая цифра числа имеет величину, не зависящую от её позиции (разряда). То есть, если у вас 5 черточек — то число тоже равно 5, поскольку каждой черточке, независимо от её места в строке, соответствует всего 1 один предмет.

Позиционная система — значение каждой цифры зависит от её позиции (разряда) в числе. Например, привычная для нас 10-я система счисления — позиционная. Рассмотрим число 453. Цифра 4 обозначает количество сотен и соответствует числу 400, 5 — кол-во десяток и аналогично значению 50, а 3 — единиц и значению 3. Как видим — чем больше разряд — тем значение выше. Итоговое число можно представить, как сумму 400+50+3=453.

Однородная система — для всех разрядов (позиций) числа набор допустимых символов (цифр) одинаков. В качестве примера возьмем упоминавшуюся ранее 10-ю систему. При записи числа в однородной 10-й системе вы можете использовать в каждом разряде исключительно одну цифру от 0 до 9, таким образом, допускается число 450 (1-й разряд — 0, 2-й — 5, 3-й — 4), а 4F5 — нет, поскольку символ F не входит в набор цифр от 0 до 9.

Смешанная система — в каждом разряде (позиции) числа набор допустимых символов (цифр) может отличаться от наборов других разрядов. Яркий пример — система измерения времени. В разряде секунд и минут возможно 60 различных символов (от «00» до «59»), в разряде часов – 24 разных символа (от «00» до «23»), в разряде суток – 365 и т. д.

Непозиционные системы

Как только люди научились считать — возникла потребность записи чисел. В начале все было просто — зарубка или черточка на какой-нибудь поверхности соответствовала одному предмету, например, одному фрукту. Так появилась первая система счисления — единичная.

Единичная система счисления

Число в этой системе счисления представляет собой строку из черточек (палочек), количество которых равно значению данного числа. Таким образом, урожай из 100 фиников будет равен числу, состоящему из 100 черточек.
Но эта система обладает явными неудобствами — чем больше число — тем длиннее строка из палочек. Помимо этого, можно легко ошибиться при записи числа, добавив случайно лишнюю палочку или, наоборот, не дописав.

Для удобства, люди стали группировать палочки по 3, 5, 10 штук. При этом, каждой группе соответствовал определенный знак или предмет. Изначально для подсчета использовались пальцы рук, поэтому первые знаки появились для групп из 5 и 10 штук (единиц). Все это позволило создать более удобные системы записи чисел.

Древнеегипетская десятичная система

Почему она называется десятичной? Как писалось выше — люди стали группировать символы. В Египте — выбрали группировку по 10, оставив без изменений цифру “1”. В данном случае, число 10 называется основанием десятичной системы счисления, а каждый символ — представление числа 10 в какой-то степени.

Числа в древнеегипетской системе счисления записывались, как комбинация этих
символов, каждый из которых повторялся не более девяти раз. Итоговое значение равнялось сумме элементов числа. Стоит отметить, что такой способ получения значения свойственен каждой непозиционной системе счисления. Примером может служить число 345:

Вавилонская шестидесятеричная система

В отличии от египетской, в вавилонской системе использовалось всего 2 символа: “прямой” клин — для обозначения единиц и “лежачий” — для десятков. Чтобы определить значение числа необходимо изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинается с появления прямого клина после лежачего. В качестве примера возьмем число 32:

Число 60 и все его степени так же обозначаются прямым клином, что и “1”. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной.
Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а большие значения — в позиционной с основанием 60. Число 92:

Запись числа была неоднозначной, поскольку не существовало цифры обозначающей ноль. Представление числа 92 могло обозначать не только 92=60+32, но и, например, 3632=3600+32. Для определения абсолютного значения числа был введен специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда, что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа:

Теперь число 3632 следует записывать, как:

Шестидесятеричная вавилонская система — первая система счисления, частично основанная на позиционном принципе. Данная система счисления используется и сегодня, например, при определении времени — час состоит из 60 минут, а минута из 60 секунд.

Римская система

Римская система не сильно отличается от египетской. В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, L, C, D и M соответственно. Число в римской системе счисления — это набор стоящих подряд цифр.

Позиционные системы счисления

Как упоминалось выше — первые предпосылки к появлению позиционной системы возникли в древнем Вавилоне. В Индии система приняла форму позиционной десятичной нумерации с применением нуля, а у индусов эту систему чисел заимствовали арабы, от которых её переняли европейцы. По каким-то причинам, в Европе за этой системой закрепилось название “арабская”.

Десятичная система счисления

Это одна из самых распространенных систем счисления. Именно её мы используем, когда называем цену товара и произносим номер автобуса. В каждом разряде (позиции) может использоваться только одна цифра из диапазона от 0 до 9. Основанием системы является число 10.

Для примера возьмем число 503. Если бы это число было записано в непозиционной системе, то его значение равнялось 5+0+3 = 8. Но у нас — позиционная система и значит каждую цифру числа необходимо умножить на основание системы, в данном случае число “10”, возведенное в степень, равную номеру разряда. Получается, значение равно 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Чтобы избежать путаницы при одновременной работе с несколькими системами счисления основание указывается в качестве нижнего индекса. Таким образом, 503 = 503₁₀.

Помимо десятичной системы, отдельного внимания заслуживают 2-, 8-, 16-ая системы.

Двоичная система счисления

Эта система, в основном, используется в вычислительной технике. Почему не стали использовать привычную нам 10-ю? Первую вычислительную машину создал Блез Паскаль, использовавший в ней десятичную систему, которая оказалась неудобной в современных электронных машинах, поскольку требовалось производство устройств, способных работать в 10 состояниях, что увеличивало их цену и итоговые размеры машины. Этих недостатков лишены элементы, работающие в 2-ой системе. Тем не менее, рассматриваемая система была создана за долго до изобретения вычислительных машин и уходит “корнями” в цивилизацию Инков, где использовались кипу — сложные верёвочные сплетения и узелки.

Двоичная позиционная система счисления имеет основание 2 и использует для записи числа 2 символа (цифры): 0 и 1. В каждом разряде допустима только одна цифра — либо 0, либо 1.

Примером может служить число 101. Оно аналогично числу 5 в десятичной системе счисления. Для того, чтобы перевести из 2-й в 10-ю необходимо умножить каждую цифру двоичного числа на основание “2”, возведенное в степень, равную разряду. Таким образом, число 101₂ = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5₁₀.

Хорошо, для машин 2-я система счисления удобнее, но мы ведь часто видим, используем на компьютере числа в 10-й системе. Как же тогда машина определяет какую цифру вводит пользователь? Как переводит число из одной системы в другую, ведь в её распоряжении всего 2 символа — 0 и 1?

Чтобы компьютер мог работать с двоичными числами (кодами), необходимо чтобы они где-то хранились. Для хранения каждой отдельной цифры применяется триггер, представляющий собой электронную схему. Он может находится в 2-х состояниях, одно из которых соответствует нулю, другое — единице. Для запоминания отдельного числа используется регистр — группа триггеров, число которых соответствует количеству разрядов в двоичном числе. А совокупность регистров — это оперативная память. Число, содержащееся в регистре — машинное слово. Арифметические и логические операции со словами осуществляет арифметико-логическое устройство (АЛУ). Для упрощения доступа к регистрам их нумеруют. Номер называется адресом регистра. Например, если необходимо сложить 2 числа — достаточно указать номера ячеек (регистров), в которых они находятся, а не сами числа. Адреса записываются в 8- и 16-ричной системах (о них будет рассказано ниже), поскольку переход от них к двоичной системе и обратно осуществляется достаточно просто. Для перевода из 2-й в 8-ю число необходимо разбить на группы по 3 разряда справа налево, а для перехода к 16-ой — по 4. Если в крайней левой группе цифр не достает разрядов, то они заполняются слева нулями, которые называются ведущими. В качестве примера возьмем число 101100₂. В восьмеричной — это 101 100 = 54₈, а в шестнадцатеричной — 0010 1100 = 2С₁₆. Отлично, но почему на экране мы видим десятичные числа и буквы? При нажатии на клавишу в компьютер передаётся определённая последовательность электрических импульсов, причём каждому символу соответствует своя последовательность электрических импульсов (нулей и единиц). Программа драйвер клавиатуры и экрана обращается к кодовой таблице символов (например, Unicode, позволяющая закодировать 65536 символов), определяет какому символу соответствует полученный код и отображает его на экране. Таким образом, тексты и числа хранятся в памяти компьютера в двоичном коде, а программным способом преобразуются в изображения на экране.

Восьмеричная система счисления

8-я система счисления, как и двоичная, часто применяется в цифровой технике. Имеет основание 8 и использует для записи числа цифры от 0 до 7.

Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система широко используется в современных компьютерах, например при помощи неё указывается цвет: #FFFFFF — белый цвет. Рассматриваемая система имеет основание 16 и использует для записи числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, где буквы равны 10, 11, 12, 13, 14, 15 соответственно.

Помимо рассмотренных позиционных систем счисления, существуют и другие, например:
1) Троичная
2) Четверичная
3) Двенадцатеричная

Позиционные системы подразделяются на однородные и смешанные.

Однородные позиционные системы счисления

Определение, данное в начале статьи, достаточно полно описывает однородные системы, поэтому уточнение — излишне.

Смешанные системы счисления

К уже приведенному определению можно добавить теорему: “если P=Q n (P,Q,n – целые положительные числа, при этом P и Q — основания), то запись любого числа в смешанной (P-Q)-ой системе счисления тождественно совпадает с записью этого же числа в системе счисления с основанием Q.”

Смешанными системами счисления также являются, например:
1) Факториальная
2) Фибоначчиева

Перевод из одной системы счисления в другую

Иногда требуется преобразовать число из одной системы счисления в другую, поэтому рассмотрим способы перевода между различными системами.

Преобразование в десятичную систему счисления

Пример: 101₂ = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 5₁₀

Преобразование из десятичной системы счисления в другие

Записав все остатки снизу вверх, получаем итоговое число 17. Следовательно, 15₁₀ = 17₈.

Преобразование из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы

В качестве примера возьмем число 1001₂: 1001₂ = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 ) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 ) = (0+0+1) (0+0+1) = 11₈

Для перевода в шестнадцатеричную — разбиваем двоичное число на группы по 4 цифры справа налево, затем — аналогично преобразованию из 2-й в 8-ю.

Преобразование из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную

Перевод из восьмеричной в двоичную — преобразуем каждый разряд восьмеричного числа в двоичное 3-х разрядное число делением на 2 (более подробно о делении см. выше пункт “Преобразование из десятичной системы счисления в другие”), недостающие крайние разряды заполним ведущими нулями.

Для примера рассмотрим число 45₈: 45 = (100) (101) = 100101₂

Перевод из 16-ой в 2-ю — преобразуем каждый разряд шестнадцатеричного числа в двоичное 4-х разрядное число делением на 2, недостающие крайние разряды заполняем ведущими нулями.

Преобразование дробной части любой системы счисления в десятичную

Преобразование осуществляется также, как и для целых частей, за исключением того, что цифры числа умножаются на основание в степени “-n”, где n начинается от 1.

Преобразование дробной части двоичной системы в 8- и 16-ую

Перевод дробной части осуществляется также, как и для целых частей числа, за тем лишь исключением, что разбивка на группы по 3 и 4 цифры идёт вправо от десятичной запятой, недостающие разряды дополняются нулями справа.

Пример: 1001,01₂ = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 ) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 ), (0*2 2 + 1*2 1 + 0*2 0 ) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,2₈

Преобразование дробной части десятичной системы в любую другую

Для перевода дробной части числа в другие системы счисления нужно обратить целую часть в ноль и начать умножение получившегося числа на основание системы, в которую нужно перевести. Если в результате умножения будут снова появляться целые части, их нужно повторно обращать в ноль, предварительно запомнив (записав) значение получившейся целой части. Операция заканчивается, когда дробная часть полностью обратится в нуль.

Для примера переведем 10,625₁₀ в двоичную систему:
0,625*2 = 1,25
0,250*2 = 0,5
0,5*2 = 1,0
Записав все остатки сверху вниз, получаем 10,625₁₀ = (1010), (101) = 1010,101₂

Источник